El contraste de hipótesis bayesiano

La aproximación frecuentista de los contrastes de hipótesis supone que los parámetros poblacionales desconocidos \( \theta\) son fijos (no aleatorios), por ejemplo, la media \(\mu\) es 0.089, y el objetivo de la inferencia estadística se centra en estimarlo. El enfoque bayesiano parte de que el parámetro poblacional \( \theta\) se comporta como una variable aleatoria y que además, contamos con cierta información de cómo se comporta dicha aleatoriedad (distribución a priori).

Aunque hubiese que comer el cuero de las vacas con el que van forrados los mástiles, había de pasar adelante y descubrir lo que había prometido al emperador, pues espero que Dios me ayudará. – Fernando de Magallanes.

Carta universal en que se contiene todo lo que del mundo se ha descubierto fasta agora / hizola Diego Ribero cosmographo de su magestad, ano de 1529, e[n] Sevilla, Diego Ribero.

Después de observar el experimento, actualizamos la distribución de \( \theta\) con la información del experimento mediante la regla de Bayes.

Supongamos que hemos de escoger entre dos hipótesis \(H_{0}\) y \(H_{1}\). Supongamos, desde un punto de vista bayesiano, que conocemos las probabilidades a priori de ambas, \(Pr(H_{0}) =p_{0}\) y \(Pr(H_{1})=p_{1}\), con \(p_{0}+p_{1}=1\). Observamos la variable aleatoria \(X\) mediante una muestra y conocemos la distribución de \(X\) bajo ambas hipótesis, i.e. \(f_{X}(x\,|\, H_{0})\) y \(f_{X}(x\,|\, H_{1})\).

Mediante la regla de Bayes, las probabilidades a posteriori se concretan en \[P(H_{0}|X=x)=\frac{f_{X}(x|H_{0})P(H_{0})}{f_{X}(x)}\] \[P(H_{1}|X=x)=\frac{f_{X}(x|H_{1})P(H_{1})}{f_{X}(x)}\]

Comparamos \(P(H_{0}|X=x)\) y \(P(H_{1}|X=x)\) y aceptamos la hipótesis que presente una mayor probalidad a posteriori. En este concepto consiste la idea de los test de máximo a posteriori (MAP). Por ejemplo, seleccionamos \( H_{0}\) sí y solo sí \(P(H_{0}|X=x)\ge P(H_{1}|X=x)\) sí y solo sí \(f_{X}(x|H_{0})P(H_{0})≥f_{X}(x|H_{1})P(H_{1})\).

Este procedimiento se puede generalizar a \(k\) hipótesis: se escogerá la hipótesis \(i\) que muestre una mayor probabilidad a posteriori \(P(H_{i}|X=x)\).