Constrate de la velocidad media de la luz con R

Como contamos con sesenta y seis observaciones, el Teorema Central del Límite apunta a normalidad del promedio, por lo que hacemos el test t de Student.

t.test(newcomb,mu=33.02)

	One Sample t-test

data:  newcomb
t = -5.1471, df = 65, p-value = 2.648e-06
alternative hypothesis: true mean is not equal to 33.02
95 percent confidence interval:
 23.57059 28.85365
sample estimates:
mean of x 
 26.21212

Los resultados indican que la media muestral vale 26.21, el intervalo de confianza al 95% para la media poblacional varía entre 23.5 y 28.85, mientras que el p-valor disminuye hasta 2.648e-06. Parece que los datos del experimento de Newcomb no avalan que la velocidad alcance las 33.02 unidades.

Sin embargo, al encontrar unos datos tan distanciados de la distribución normal, surge la duda de si realmente sesenta y seis observaciones representa un tamaño suficiente para que el Teorema Centra del Límite converja. En realidad, este teorema requiere que el tamaño tienda a infinito. Por precaución, implementamos la versión bootstrap o remuestreo para estas hipótesis. Empecemos con el intervalo de confianza para la media.

set.seed(546)
btmean <- replicate(1000,{
    y <- sample(newcomb,length(newcomb),replace=TRUE)
    mean(y)
})
quantile(btmean,probs=c(0.025,0.975))

    2.5%    97.5% 
23.25682 28.34886

Sale muy parecido al del test t.

Determinemos el p-valor. El p-valor representa la probabilidad de ocurrir un resultado igual o peor al obtenido suponiendo la veracidad de la hipótesis nula. La hipótesis nula indica que la media verdadera se sitúa en 33.02, por lo que hemos de ajustar los datos para que tomen esta media. Unas sencillas restas y sumas crean un nuevo conjunto de datos con esta media.

mu <- 33.02
mean(newcomb)
newcombh0 <- newcomb - mean(newcomb) + mu
mean(newcombh0)
(dif <- abs(mean(newcombh0) - mean(newcomb)))

[1] 26.21212
[1] 33.02
[1] 6.807879

La distancia de la media muestral a la media poblacional se sitúa en 6.8. Por lo tanto, la probabilidad p-valor de que ocurran eventos más desfavorables surge de o bien obtener resultados menores que 26.21 (33.02- 6.8), o bien resultados mayores que 39.82 (33.02 + 6.8).

Con los datos ya ajustados según la hipótesis nula, procedemos al remuestreo, repitiendo el procedimiento mil veces.

set.seed(789)
bstrpmeanh0 <- replicate(1000,{
    y <- sample(newcombh0,length(newcombh0),replace=TRUE)
    mean(y)
})
hist(bstrpmeanh0)

Y nos queda calcular el p-valor, que en este caso vale cero.

sum( bstrpmeanh0 < mu - dif | bstrpmeanh0 > mu + dif) / length(bstrpmeanh0)

[1] 0

Por lo tanto, el experimento de Newcomb concluye que la velocidad de la luz no es 33.02.

La inspección visual de los datos mostró dos valores negativos muy diferentes del resto. Sin conocer las condiciones de la medición, no sabemos la fiabilidad de la misma. Por si acaso, repitamos el estudio sin considerar esos valores atípicos.

  depunewcomb <- newcomb[ newcomb > 0]
hist(depunewcomb)

El histograma sí parece acampanado. Para comprobar la normalidad, realizamos el gráfico cuantil cuantil, que disipa nuestras dudas sobre las condiciones de normalidad de estos datos depurados.

library(car)
qqPlot(depunewcomb)

Repetimos los pasos de la sección anterior aplicándolos a los datos depurados. En primer lugar, el test t.

t.test(depunewcomb)

	One Sample t-test

data:  depunewcomb
t = 43.671, df = 63, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 26.4802 29.0198
sample estimates:
mean of x 
    27.75

Hagamos el análisis de remuestreo. El intervalo de confianza queda

set.seed(561)
depubtmean <- replicate(1000,{
    y <- sample(depunewcomb,length(depunewcomb),replace=TRUE)
    mean(y)
})
quantile(depubtmean,probs=c(0.025,0.975))

    2.5%    97.5% 
26.49922 29.03164

mientras que el p-valor vale cero.

mu <- 33.02
depunewcombh0 <- depunewcomb - mean(depunewcomb) + mu
dif <- abs(mean(depunewcombh0) - mean(depunewcomb))
set.seed(789)
depubstrpmeanh0 <- replicate(1000,{
    y <- sample(depunewcombh0,length(depunewcombh0),replace=TRUE)
    mean(y)
})
 sum( depubstrpmeanh0 < mu - dif | depubstrpmeanh0 > mu + dif) / length(depubstrpmeanh0)

[1] 0

Por lo tanto, según el experimento de 1882 de Simon Newcomb, no aceptamos como verdadera la vigente creencia de que la luz viaje a 33.02 unidades.

Lo que hoy rezuma certeza, mañana deviene en falsedad. Aprendamos a manejar la incertidumbre. Quién sabe dónde estaremos mañana: «Porque ni del sabio ni del necio habrá memoria para siempre; pues en los días venideros ya todo será olvidado, y también morirá el sabio como el necio» (Eclesiastés 2, 16).

• Simon Newcomb. Simon Newcomb fue el descubridor de la ley de números raros de Benford, que se utiliza actualmente para detectar fraudes contables.

Esta entrada forma parte de un serie de artículos introductorios sobre contrastes de hipótesis:

• Los contrastes de hipótesis.
• La región crítica.
• Reniegue de «estadísticamente significativo».
• La trampa del p-valor.
• El tamaño del efecto.
• Sobre normalidad.
• Contrastes más usuales con R.
• Contrastes mediante remuestreo.
• Contrastes con enfoque bayesiano.